Réflexion sur les nombres

Quand nous étions bien petit, nous avons manipulé les nombres. Nous leur attribuons même une personnalité plus ou moins sympathique. Il me semble que quand j’étais petit, j’étais entouré de nombres dont certains étaient agréables comme le nombres 2 ou 4 et d’autres un peu déplaisants comme le nombre 7, allez savoir pourquoi …

Le poète Arthur Rimbaud, lui, associait avec chaque nombre une couleur. Cette fascination peut expliquer la bizarre adhésion de certains individus, qui sont par ailleurs raisonnables, à la numérologie qui imagine un lien entre notre destin personnel et quelques dates de notre curriculum vitae. En réalité, les nombres n’ont pas besoins de ces délires pour nourrir notre imagination. Rappelons nous de l’infinitude des nombres premiers démontrée par Euclide et la conjecture de l’allemand Goldbach obtenant deux nombres premiers à partir de deux nombres pairs. Pour définir ces nombres, il est classique de ce référer à la métaphore du berger, le berger qui compte ses moutons et qui dit « voilà j’ai 120 moutons, j’ai 10 moutons, etc. ». Deux troupeaux se voient attribués le même nombre s’il est possible de mettre en correspondance chacun des moutons d’un troupeau avec chacun des moutons de l’autre. L’ennui de ce cheminement qui part du nombre réel du troupeau est de ne pas introduire le nombre 0 dont le rôle est pourtant important.

Une voie tout autre et plus intuitive est proposé par le mathématicien contemporain John von Neumann. Il introduit les premiers nombres au moyen d’une expérience qui consiste à comparer deux tas dont l’un est composé de cuillères et l’autre de fourchettes et à lui poser la question : Voyez vous une différence entre ces deux tas ? « Bien sûr », répond-on, « une fourchette n’est pas une cuillère et inversement. » John Von Neumann enlève alors quelques fourchettes et quelques cuillères et renouvelle sa question qui provoque la même réponse : « Bien sûr, les deux tas sont différents. » jusqu’à qu’il ne reste ni fourchettes, ni cuillères et pose la question finale : « Faites-vous la différence entre un tas où il n’y a plus de fourchettes et un tas où il n’y a plus de cuillères ? » Cette fois la réponse est : « non, il n’y a plus de différences. » Bravo, s’écrit le mathématicien, vous venez d’inventer les deux premiers nombres : le 0 qui est le nombre lié à l’ensemble vide et le 1 qui est le nombre lié à l’ensemble des ensembles vides car les ensembles vides existent, on vient de les voir et l’homme auparavant avait dit qu’ils étaient identiques, qu’on ne peut pas les différencier. C’est donc qu’il n’en a qu’un. Le 0 et le 1 sont l’aboutissement de ce petit jeu beaucoup plus puissant qu’il n’en a l’air.